Какая "уйма умножений" некоммутативна?
Да, да, матрицы, кватернионы и так далее. И - нет, не нужно про них рассказывать первоклашкам, но нужно просто донести, что без доказательства нельзя просто так брать и менять местами множители - нужно привить математическую культуру мышления (да, первоклашкам), а не просто научить умножать.
как предлагается доказывать коммутативность умножения?
Можете прямо текст доказательства и накидать, очень интересно.
Первоклашкам я бы геометрически доказывала. Ну вот прям нарисовать клетчатый прямоугольник и показать, что m строк по n клеточек - это то же самое, что n столбцов по m клеточек. Для первоклашек нормальный уровень строгости, учитывая то, что умножение им задавали ни разу не аксиоматически.
да и сама идея доказывать в 1м классе не очень.
Если в первом классе не приучить к концепции "как работают доказательства" и просто давать голые факты на веру, классе в седьмом на придётся долго и мучительно переучиваться. Потому что на веру принять проще, а раз уже привык к простому - зачем всё усложнять?
И - да, младшеклашки не тупые и вполне могут понимать наглядные доказательства. Это я как человек, который ведёт допзанятия у младшеклашек по этой самой математике говорю.
Доказательства возможны в определенной системе категорий и понятий, хотя бы базовой.
В любой системе есть неопределяемые понятия и недоказываемые утверждения. В условиях начальной школы понятие натуральных чисел, по сути, неопределяемо, а сложение и умножение вполне себе имеют, пусть и не совсем строгие, но определения, и в этой системе доказательство их свойств вполне возможно. Если уж на то пошло, аксиоматика действительных чисел в школе вообще не изучается - и что теперь, ждать первого курса, чтобы начать что-то доказывать?
Я лично за то чтобы детям не делать замечание за 4×2 вместо 2×4. На мой взгляд докапываться до этого тупо, путает детей и отбивает охоту.
На это можно было бы закрыть глаза, если бы это не было темой текущего урока. А если не докапываться до ребёнка, который не слушает то, что происходит на уроке, то он и не начнёт слушать.
Объяснять всем детям коммутативность слишком рано тоже не стоит, но если он её знает и правильно пользуется, то это плюс, а не минус.
Если он её знает, правильно пользуется и
может обосновать (хоть как-то) - тогда да, хоть дифференциальным исчислением пользуйся (если это использование не позволяет избегать использования изучаемого на уроке метода..скажем, даже если ты можешь доказать теорему Виета, это не повод не уметь считать дискриминант). Это официальные правила всех известных мне матсоревнований - без доказательства можно использовать только факты из школьной программы соответствующего класса (и ещё некоторые общеизвестные, но не из программы, типа малой теоремы Ферма или биномиальных соотношений), с доказательством - что угодно. И, как по мне, в школе должно быть ровно так же: математика - она не про эрудицию, она про доказательства, и чем раньше начинать что-то доказывать, тем меньше школьники будут пугаться доказательств.
