Для большинства стран необязательно усыновление или отказ прав родного отца, даже когда речь о воссоединении жены и ребенка к новому мужу (как это будет у автора), достаточно согласия на ПМЖ, поэтому вариант "сын переезжает с матерью, к отцу летает на все каникулы, отчим воспитывает в остальное время" рабочий.
Только пусть автор хорошенько подумает, сейчас у нее и работа, и полно свободного времени благодаря отцу ребенка, а в новой стране ребенком придется сначала заниматься полностью ей, а потом искать, как в это все вписать учебу-работу-свой отдых, пока отчим будет упахиваться, чтобы их обеспечить. И вообще браки эмигрантов часто разваливаются из-за бытовухи.