Специалисты могут пойти в магистратуру на бюджет, но есть ньюанс. Есть два вида дипломов: диплом специалиста и дипломированного специалиста, вот первые только на контракт (если не изменяет память, то это уже те, что обучаются по ФГОС 3+), а вторые могут и на бюджет (ГОСы, ФГОСы).
Специалисты могут идти и в аспирантуру, а вот бакалавры нет.