Отчего же, поверю. Ада вполне себе еврейское имя, а в годы, когда пятая графа была чуть ли не приговором, доказывать, что Ада может быть и производным от Аделаиды, например, занятие так себе. А то еще и вспомнят, что Аделаида — имя немецкое. Так что смена на посконную славянскую Людмилу понятна.
Я спросила больше потому, что встречалась с женщиной, сменившей еврейское имя Мария на ни разу не еврейское Анна.