Бич - слово древнее. И вообще говоря, не синоним бомжа. На севере его любили расшифровывать, как "бывший интеллигентный человек", хотя это, ясный пень, задорновщина. Это сокращение от слова бичкомер (англ. beach comber), означавшее моряка (низших рангов - матросы, кочегары), не имеющего своего угла и не приписанного к одному конкретному судну, и пережидающего "засуху" между рейсами, бомжуя на берегу, чтобы не пропустить возможность устроиться на следующий корабль.